一、选材与学情

本课是学生学完证明(1)、(2)、(3)后的复习课。使学生掌握基本的证明方法、步骤、格式和线性知识。综合应用总结与归纳。尤其是几何构成中的一些基本元素（平行线、角平分线、垂线等）与多边形、圆的组合，是培养学生几何素养的良好载体。教材提供了许多优秀材料供教师和学生在教学活动中探索和再创造。教科书P108/12和13是两个典型的例子。在本课中，通过学习两个基本构图，学生将来可以解决平行线和角平分。直线、多边形、圆等的组合问题打下良好的基础，提供了学习和探索问题的模式，对培养学生的问题意识、反思意识和探究能力起到重要作用。

学习目标：

1、巩固平行线、角平分线、特殊四边形的性质和判断；

2、掌握两种基本构图（平行线+角平分线）及其等量和位置关系；

3、能够认识基本构图，并能解决基本构图与特殊四边形相结合的相关问题；

4.通过提出问题、提出解决方案、协作探索结论的过程，培养学生解决问题的能力。

要点：掌握基本构图中的等量及其位置关系。

难点：利用基本构图中的等量及其位置关系来解决问题。

二、教法与学法

本课选取的两个例题，问题P108/12和13，是根据章后复习题中的问题解答而得出的。属于高要求题，适合一些有学习空间的同学。它们不适合大多数学生。学生。而教学必须面向全体学生，因此在引言部分，选择学生非常熟悉的平行线、角平分线切入，以降低起点、铺垫。每个教学环节均引入多媒体演示辅助，并尽可能准确提问。它来自学生的口中，辅以建议和指导。解决问题尽量采用合作探究的方式，对有价值的问题（分为星级区分）给予肯定和表扬。

三、教学过程

本课主要链接：

1.简介：用平行线和角平分线组成基本构图——。

2.影介绍：P108/12T、13T。

3、拓展——对P108/12T、13T和——的反思，培养问题意识、反思意识、探究能力。

4.磨刀石：在几何画板平台上通过改变参数值自动生成变体题，供学生练习。

每个链接的说明

引言（引言环节）（预计5~8分钟）：基于全体学生的考虑，降低起点，从平行线（三线八角）开始，逐步添加条件（角平分线），引发学生思考并提出问题。

具体操作：

【白板显示】已知如图1所示，直线a和直线b被直线c截断。交点是A和B，以及a//b，

然后（平行线的性质，学生填空）。

【默认】学生复习巩固平行线的性质：全等角/内角相等/对边内角互补

（加角平分线）画ABF的平分线与直线a交于C点，然后（学生填空）

【默认】学生可以提出以下问题：（1）ABC有什么特点？ (AB=AC)

（再加一条角平分线）画EAB的平分线，与直线b交于D点。图3

[预设] 学生可提出以下问题： (2) ABD 有什么特点？ (BA=BD)

图3

（3）AD和BC的位置关系有什么特点？ （垂直的）

（4）ABC、ABD的边、角、面积有什么特点？

（腰围相等，底角互补，顶角互补，面积相等）

（5）四边形ABDC有什么特点？ （钻石）

针对学生提出的问题，给予适当的指导（尽量让学生有更好的指导水平），老师会及时总结出两个基本作文：

图4

图5

图4：平行线“+”和一个角平分线形成一个等腰三角形。图5：平行线“+”和两条角平分线形成直角三角形。

学生独立完成结论证明。

影子介绍（申请链接）（预计10到15分钟）：期望通过前面的准备，学生能够独立解决P108/12T和13T。难度将会大大降低。将为有学习困难的学生提供适当的指导，帮助他们学习图6和图7中识别两个基本构图，找到相等（垂直）的线段，并完成证明过程。

北师大版《数学》九上P108/第12题

12、已知，如图6所示，平行四边形ABCD、F、G是AB边上的两点，FC平分BCD、GD平分

ADC、FC、GD 相交于E 点。验证：AF=GB。

图6

北师大版《数学》九上P108/第13题

13、已知，如图7所示，平行四边形ABCD各角平分线分别相交于点E、F、G、H。验证：四边形EFGH 是矩形。

图7

重新思考P108/12T、13T（扩展课程）（预计15 至20 分钟）：此课程对学生来说比较困难。教师要耐心、启发、诱导，尽量让问题从学生的嘴里出来。至于结论，关键是尽可能用具体的数据来说明和实践，并以《几何画板》的论证作为补充。

问题12 的问题

[默认] 学生可以提出以下问题：

DGFC

AD=AG=BF=BC

ADG和BCF都是等腰三角形

DEC和FEG都是直角三角形，它们相似。

ADG和BCF都是等腰三角形，它们的腰长相等，顶角互补，底角互补，面积相等。

DG 和FC 的交点E 一定在形状内吗？

平行四边形ABCD的邻边比对E点的位置有什么影响？

DEC与平行四边形ABCD的面积之比与ABCD邻边之比有什么关系？

DEC和FEG的相似比与平行四边形ABCD邻边比有什么关系？

问题13 的问题

[默认] 学生可以提出以下问题：

矩形的EFGH 确实存在吗？

矩形EFGH一定在平行四边形ABCD的形状内吗？

平行四边形ABCD的邻边比对矩形EFGH的位置有什么影响？

平行四边形ABCD与矩形EFGH的面积比与ABCD邻边之比有什么关系？

部分结论（几何画板演示、观察结果）

数学实验：平行四边形邻边比与E点位置的影响（较容易）、平行四边形邻边比对图形面积的影响（较难）

令AB:AD=k

磨刀石（练习作业环节）：（利用几何画板上的参数变化，自动生成几道变题，用于课堂练习和课外作业）

1如图8所示，平行四边形ABCD中，BE平分ABC并与AD相交于P，CE平分BCD并与AD相交于Q，AG平分BAC并与BC相交于S，DG平分CDA并与BC相交于R 、AG、BE交给F，DG、CE交给H。

(1)验证：四边形EFGH是矩形； （2）当k=BC/AB=2时，求SBEC/SABCD和SEFGH/SABCD的值。

图8

2、如图9所示，平行四边形ABCD中，BE平分ABC并与AD相交于P，CE平分BCD并与AD相交于Q，AG平分BAC并与BC相交于S，DG平分CDA并与BC相交从R、AG、BE 到F、DG、CE 到H。

(1)验证：四边形EFGH是矩形；

（2）当k=BC/AB=3时，求SBEC/SABCD和SEFGH/SABCD的值。

图9

3、如图10所示，平行四边形ABCD中，BE平分ABC并与AD相交于P，CE平分BCD并与AD相交于Q，AG平分BAC并与BC相交于S，DG平分CDA并与BC相交于S R、AG、BE 至F、DG、CE 至H。

(1)验证：四边形EFGH是矩形；

（2）当k=BC/AB=1.5时，求SBEC/SABCD和SEFGH/SABCD的值。

如图10所示

附录：对部分结论一般性的探究可以印发给部分学有余力的学生

北京师范大学版九年级数学第一卷P108第12、13题综合研究（见上题及图）

这两个问题还给我们留下了哪些思考空间呢？

第12题还可以问以下问题：

1. DGFC,（答案省略）

2. DG 和FC 的交点E 一定在形状内吗？

3、平行四边形ABCD的邻边比对E点的位置有什么影响？

4、DEC与平行四边形ABCD的面积之比与平行四边形ABCD邻边之比有什么关系？

详细研究：

1、不难找到两个等腰三角形ADG和BCF，AD=AG=BF=BC

这两个等腰三角形的关系：腰长相等，顶角互补，底角互补，面积相等。

2、设相邻边之比DC：DA=k，

3.过E点画HIAB，AB交于H，CD交于I，

假设相邻边AB之比：AD=k，HE=h1，IE=h2，HI=h3，则DEC的面积为S1，平行四边形ABCD的面积为S2，

但由于E点相对于平行四边形ABCD存在三种位置关系，因此必须根据这三种情况来讨论。

当然证明：并不难

进而，

无论点E在形外、形内或边上，总有

第13题还有改进的空间：

当AB:AD=k时，求矩形EFGH与平行四边形ABCD的面积之比。

思路：连接FH，过G点画AB垂线，FH交于M，AB交于N，CD交于Q。假设GI=h1，GJ=h2，KG=h3，KJ=h，则S矩形EFGH=2SFGH=FHGI=FHh1，S平行四边形ABCD=ABKJ=ABh。这里有一个问题：FH与AB平行吗？为什么？

容易证明：平行四边形ANCM，F和H分别是AM和CN的中点，所以AF//NH，AF=NH，我们得到，

平行四边形FHAN，FHAB。

因此，S矩形EFGH：S平行四边形ABCD=(FH: AB) (h1: h)，

又GFHGAB，FH:AB=h1:h2，

但由于E点相对于平行四边形ABCD存在三种位置关系，因此必须根据这三种情况进行讨论。

当点E，G在平行四边形ABCD形内时，

OM:AB=h3:h2=(2-k):k, OM:FH=h3:h1, h1+h3=h2-h1=1/2h,

当点E，G在平行四边形ABCD形外时，

且h1-h3=h2-h1=1/2h

当点E，G在平行四边形ABCD形的边上时

此时k=2，且h1=1/2h2=1/2h

综上所述：无论E，G在形内、形外、边上，均有

类似问题（见下面链接）：

【每日问题4】

用户评论

岁岁年年

刷题确实要多做，但别忘了总结经验教训。要好好思考为什么错了，才能真正学到东西啊！

    有6位网友表示赞同！

绝版女子

归纳总结很重要啊，要不然只会记答案，不会理解题型规律。

    有9位网友表示赞同！

闲肆

我每次考试都做完后就后悔没认真反思…下次一定要改！

    有16位网友表示赞同！

走过海棠暮

刷题不反思就和盲人走路一样，看不清目标方向!

    有18位网友表示赞同！

一生只盼一人

两行泪说得太对了！明明之前做得很好，考出来就差评，就是反思不够啊！

    有16位网友表示赞同！

々爱被冰凝固ゝ

哈哈，说的我心酸…每次考试都跟写“两行泪”似的…

    有16位网友表示赞同！

蔚蓝的天空〃没有我的翅膀

刷题要重视规律总结，否则做多少题都不如少做点高质量的回顾。

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拥抱

刷题确实多做能提高速度和准确率，但反思也是一个不可忽视的过程。

    有19位网友表示赞同！

西瓜贩子

每次考试都像在写 “两行泪” 😭

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暮染轻纱

反思是关键！别被“考完两行泪” 吓到啊。

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娇眉恨

刷题做多了，要记得好好总结归纳，才能真正学的东西多！

    有10位网友表示赞同！

棃海

考试不合格的根源就在于 “做题不反思”。

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关于道别

坚持刷题，更要重视反思总结！这样才能快速进步。

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志平

我太认同 "刷题千万道，归纳第一条" 这句话了！

    有13位网友表示赞同！

我家的爱豆是怪比i

每次考试都两行泪🥺…

    有14位网友表示赞同！

怀念·最初

学习算法和数据结构，就需要不断刷题，同时进行认真反思和归纳总结

    有20位网友表示赞同！